Zkouška Lineární algebra 2   11/6/2025 skupina B

Prosím:

• pište čitelně,

• nezapomínejte každý list podepsat,

• nepoužívejte pomůcky jako skripta, poznámky z přednášky, kalkulačky a podobně,

• a vypněte všechny pípáky, které s sebou máte.

Odpověď u každého příkladu zdůvodněte, například pouhý numerický výsledek bez objasnění postupu je téměř bezcenný.

1. a) Určete charakteristický polynom $p_A(x)$ matice $A = \begin{pmatrix} 1 & -3 & -3\\ -3 & 7 & 3\\ -3 & 3 & 1 \end{pmatrix}$ a rozhodněte, která z čísel $1, -2$ patří mezi jeho kořeny.

   b) Pokud existuje, najděte matici $R$ a diagonální matici $D$ tak, aby platilo $RDR^{-1} = A$.

   c) Pokud existuje, najděte matici $P$ a diagonální matici $C$ tak, aby platilo $P\kern{0.05em}C P^T = A$, a rozhodněte, zda je možné najít $P$ ortogonální.

   15 Myslím, že to hodnotili 5, 5, 5

2. Definujte pozitivně definitní matice. 5

   Formulujte a dokažte (alespoň) jednu další ekvivalentní podmínku na pozitivní definitnost matice. 10

3. a) Uveďte definici obecného skalárního součinu v aritmetickém vektorovém prostoru $V = \mathbb{R}^n$. 5

   b) Nechť $U$ je lineární obal vektoru $b_1 = (1, 1, 1)^T$ ve vektorovém prostoru $V = \mathbb{R}^3$, a nechť $C = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$. Najděte nějakou bázi ortogonálního doplňku $U$, vzhledem ke skalárnímu součinu $\braket{u\,|\,v} = u^TCv$, takovou, že každé dva různé vektory této báze jsou na sebe kolmé. 10

4. Pro každé z následujících tvrzení zdůvodněte, zda platí či neplatí.

   (a) Pro každou kvadratickou formu $g: V \to \mathbb{R}$ existuje taková báze, že matice $g$ vůči této bázi je diagonální. 5

   (b) Pro každou symetrickou reálnou čtvercovou matici a pro její libovolné vlastní vektory $\bold{u}$ a $\bold{v}$ platí, že jejich součet $\bold{u} + \bold{v}$ je též vlastním vektorem této matice. 5

   (c) Nechť $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ je symetrická matice s kladnou diagonálou a $f: \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ je zobrazení definované pro každé $u, v \in \mathbb{R}^n$ předpisem $f(u, v) = u^TAv$. Pak $f(u, v)$ je skalární součin na $\mathbb{R}^n$. 5

K ústní pouštěl s 30 a více body.